你離高考數學140只差這一步之
解析幾何(五)
原創(chuàng): 鄭力源? ?本質教育4月25日
今天是解析圓錐曲線這一章的第一篇內容,有三道填空題等著大家,同時也想讓大家了解一下怎么樣才算是理解定理,而又如何去加深對定理的理解。首先還是回到我們的數學三招。大家都知道“數形結合”的思想,也就是遇到幾何問題考慮代數化,遇到代數問題考慮幾何化。而我們本質教育的第一招——翻譯就是要求大家將中文翻譯成數學語言,“數形結合”就是翻譯的一種特殊化。澤宇老師說,當你看到數學問題的時候,你應該“討厭”中文,把它們翻譯為數學語言。因此,解決解析幾何的題目和立體幾何題目類似,仍然是要大量運用我們數學三招的第一招——翻譯,希望大家在學習完例題之后自己多練習,做到知行合一,把“翻譯”運用自如,輕松解決解析幾何問題,走向高考140。
先來了解一下翻譯在解決高中數學問題的核心。這三者之間的互相翻譯,要非常熟悉。(具體的公式定理需要大家下來多去了解)
其次,對于第三招——盯住目標,也是需要大家時刻注意的。
我們把未知或者題目要證明的結論統(tǒng)稱為目標。解題的高手很清楚“有的放矢”這幾個字, 我們往往不僅僅從已知出發(fā)正向構建橋梁,而是反過來從目標出發(fā),反向構建橋梁:
要求解/要求證 (原目標,目標1) -> 我們只需要求解/求證(目標2) -> 我們只需要求解/求證(目標3)-> …… -> 已知/前提
在這個不斷更新目標的過程中,我們反復問自己:盯住目標 你能聯(lián)想相關的定理,方法,定義嗎?你能試著把目標和已知,前提結合嗎?這就是不斷地調用學習過的知識的過程。
這就是一道典型的盯住目標直接翻譯的題目。有的同學拿到解析幾何題就直接畫圖,是能加強對題目的理解但并不適用于需要在快速解決題目的考場上。那很多同學就會覺得要對題產生一種感覺,但這樣感性的認識真的能給你信心解決題目嗎?所以我們拿到題還是回到數學三招來,看要不要畫圖,需要聯(lián)想哪些知識。
目標是圓心間的最短距離,盯住這個目標我們需要找到圓心間距離的表達式,那要找到表達式就要找到圓心都在哪,圓心肯定是通過圓方程來得到,那我們就該盯住圓方程,圓方程是能直接反映出圓心坐標的,因此不需要畫圖。
很多同學問要不要在這里求出兩點坐標呢?我想說你盯住目標之后需要嗎?做到這里沒有要求你求坐標,干嘛去解一個含參數的一元二次方程。要做的就是繼續(xù)盯住目標,繼續(xù)聯(lián)系已知,看看后面怎么做。已知還有一個直角的條件,在解析幾何里面我們向量垂直是對直角最好的翻譯,如果你沒想到還是因為你對直角在坐標系里面的理解不夠。那怎么才能加深呢?多實踐多聯(lián)系,你一次想不到你會自己埋怨自己,兩次想不到你還是會埋怨自己,等你再埋怨你自己想不到的時候,你就該想到了。
回過頭來,一開始為什么想著不直接解方程?顯然這里的AB成對出現,就是方程兩個解可能是同時需要,那既然是同時需要則AB坐標的“個性”就不那么重要了,反而是“共性”更重要,怎么體現“共性”?韋達定理。
所以還是回到對定理的理解上。如果你對韋達定理理解足夠深刻,不僅能夠正向做題,還是促使你對成對出現的解有一定想法。那我看到這個方程的時候我的想法就是說不定會用到韋達定理,我就不用去解方程。
如何才能有效地盯住目標進行翻譯,首先你需要對定理有足夠的理解。如果你想不到剛剛那些想法,說明認識不夠還需要多實踐。你盯著定理看一下午也看不出什么時候用得上,那就去練習,去實踐,自己總結。一千個人有一千個哈姆雷特,自己對定理的理解肯定會比學習別人的理解對自己的幫助更大。
再看到公切線這個已知條件,如果你對公切線的理解非常到位的話,你會一下就反應過來兩圓相切。這里大家可以再回顧一下公切線條數與兩圓關系(相離、相離、相交、內切、內含),這里就給大家做了一個示范,如何在實踐中總結反思,加深對知識的理解,相信大家下一次碰見公切線這個條件時就能想到這些知識。
今天除了講了這幾個圓的題,更是想讓大家明白什么才叫理解一個定理,怎么樣才能在實踐中來加深理解,也希望大家將自己思考題目的心路歷程記錄下來,以便于加深理解。
文作者:鄭力源,2015年參加高考總分660,數學137。有幸了解澤宇老師數學哲學,收獲頗多,原來離高考數學140就差這一步。)
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