數(shù)學(xué)三招,招招破高考(每周一、三、五更新新篇)18.10.19

作者:本質(zhì)教育 魏旭東

本質(zhì)教育高考數(shù)學(xué)破題解析開課啦?。?!

每周一、三、五更新新篇,將會(huì)從18年高考開始,致力于用三招將高考數(shù)學(xué)中具有代表性的題逐個(gè)擊破。

本質(zhì)教育高中數(shù)學(xué)致力于培養(yǎng)學(xué)生的思維方式,提供思維能力,打破固有的刷題和死記硬背模式,讓學(xué)生沖刺高考數(shù)學(xué)的140+。

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數(shù)學(xué)三招:翻譯、特殊化、盯住目標(biāo)

翻譯:文字、數(shù)學(xué)語言、圖形,將題目中出現(xiàn)的這三者進(jìn)行合理的相互間轉(zhuǎn)化。

特殊化:根據(jù)題目或者選項(xiàng)的限制條件,取一些特殊值或特殊的式子,尋找特殊規(guī)律,再推及一般規(guī)律,在高難度的題中可以用特殊化進(jìn)行猜想。

盯住目標(biāo):緊盯目標(biāo),聯(lián)想相關(guān)的定理、性質(zhì)、公式,與題目已知聯(lián)系起來,進(jìn)行解題,在難題中有時(shí)候也可以用盯住目標(biāo)聯(lián)想公式進(jìn)行合理猜想。

三招雖然簡單易懂,但是如果要熟練運(yùn)用,難度還是很大的,所以,也就有了我們本質(zhì)教育高中數(shù)學(xué)。

 

2018.10.19更新

(過于簡單的題目不再贅述,這里我們只選取稍微凸顯思考的題)

試卷第20題

已知斜率為k的直線l與橢圓 C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M(1,m)(m>0)。
(1)證明:k< -\frac{1}{2} ;
(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且FP+FA+FB=0,證明:|FA|,|FB|,|FP|成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差。

 

三招破題

(1)盯住目標(biāo):我們要證明l的斜率小于-\frac{1}{2},那我們通過翻譯首先要把k找出來,建立式子找到關(guān)系。

翻譯:AB兩點(diǎn)不是固定的,從而M也不固定,把題中條件翻譯成圖像會(huì),你會(huì)發(fā)現(xiàn)m的取值與k有關(guān),因?yàn)閗變了,意味著直線變了,直線變了M就變了。

那么試試能不能求出m,這時(shí)候看到ABM點(diǎn),是不是聯(lián)想到課本里很經(jīng)典的點(diǎn)差法。

設(shè) A(x_1,y_1) , B(x_2,y_2),代入橢圓方程得到兩個(gè)式子,相減后有:

\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{4}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{3}=0

\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=k=-\frac{3}{4}\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2} ,又因?yàn)镸(1,m)是AB中點(diǎn),那么有 x_1+x_2=2,y_1+y_2=2m ,從而有 k=-\frac{3}{4m} ,我們剛才的目標(biāo)找到了,

那么k已經(jīng)與m建立關(guān)系了,怎么才能證明k小于-\frac{1}{2}呢,那是不是需要m小于 \frac{3}{2} ,怎么出現(xiàn)呢,題中已經(jīng)有了m>0,而顯然M是在橢圓內(nèi)的,一定是有個(gè)范圍的,我們不妨看看M在橢圓上是什么,將M坐標(biāo)代入橢圓方程,得到 m=\frac{3}{2} ,那正好和我們的目標(biāo)聯(lián)系起來了,所以得證。

 

(2)盯住目標(biāo):證明|FA|,|FB|,|FP|成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差,等價(jià)于證明2|FB|=|FA|+|FP|,求出d。

翻譯FP+FA+FB=0,因?yàn)镸是AB中點(diǎn),結(jié)合向量知識(shí),有FP+2FM=0,,顯然F(1,0)我們要計(jì)算向量的模長,那么要想辦法求出P、A、B坐標(biāo)代入運(yùn)算,所以設(shè)P(x,y)。

FP+2FM=0,則有(x-1,y)+2(0,m-0)=0,則有x=1,y=-2m,P(1,-2m).

將P代入橢圓方程,有 m=\frac{3}{4} ,所以 l:y=-x+\frac{7}{4}

聯(lián)立l與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理可得: x_1+x_2=2,x_1x_2=\frac{1}{28}

FP= \sqrt{(-1)^2+(-\frac{3}{2}-0)^2}=\frac{3}{2} ,FA+FB= 2a-\frac{c}{a}(x_1+x_2)=3 =2FP,

故|FA|,|FB|,|FP|成等差數(shù)列,

2d=||FA|-|FB||= |a-\frac{c}{a}x_1-a+\frac{c}{a}x_2|=\pm\frac{1}{2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\pm\frac{3\sqrt{21}}{28}

(簡簡單單的盯住目標(biāo)和翻譯就能毫不費(fèi)力的拿下這很多人懼怕的12分)

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