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此文寫(xiě)給那些學(xué)習(xí)很努力，但數(shù)學(xué)成績(jī)沒(méi)有進(jìn)步的孩子們—本質(zhì)教育CEO李澤宇

為什么寫(xiě)這篇文章 – 我犯的錯(cuò)誤：

最開(kāi)始我成立本質(zhì)教育并教授高中數(shù)學(xué)，是因?yàn)槲艺J(rèn)為現(xiàn)有的高中數(shù)學(xué)教育是非常有問(wèn)題的：數(shù)學(xué)變得死記硬背，學(xué)生沒(méi)有學(xué)到創(chuàng)造性的解題（解決他們從所未見(jiàn)的問(wèn)題）的思維和能力，從而導(dǎo)致長(zhǎng)大了容易“高分低能”。（我在匯豐工作期間，遇到的一些從世界一流大學(xué)畢業(yè)的孩子，做老師教過(guò)的，老板教過(guò)的問(wèn)題，勤勤懇懇。但要他們給他們一個(gè)探索性的項(xiàng)目，往往無(wú)從下手。）

我本來(lái)想：我把數(shù)學(xué)哲學(xué)（數(shù)學(xué)家是如何思考來(lái)解決問(wèn)題的）以及我從里面總結(jié)的數(shù)學(xué)三招教給學(xué)生了，那么高考難度的數(shù)學(xué)不就是小菜一碟嗎？（關(guān)于數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)三招，參考我的另外一篇文章：）

后面我發(fā)現(xiàn)，事情沒(méi)有這么簡(jiǎn)單。為此我寫(xiě)了這篇文章，希望能對(duì)同學(xué)們所助益：

1. 基礎(chǔ)（定義，定理）不扎實(shí)

我當(dāng)年學(xué)數(shù)學(xué)的時(shí)候，沒(méi)有這個(gè)毛病。但隨著我接觸的孩子越來(lái)越多，我發(fā)現(xiàn)很多孩子很努力，但是根本不會(huì)學(xué)習(xí)，尤其是不會(huì)仔細(xì)體會(huì)和品味這些理科的概念。他們很努力，拼命刷題，但仍然對(duì)這些概念一知半解。甚至還有同學(xué)質(zhì)疑，說(shuō)“不用掌握概念我也可以做題”。是的，你的確可以做一部分題，但題目一變，你就完蛋。

很多同學(xué)這題做不出來(lái)。我結(jié)合數(shù)學(xué)三招來(lái)解答：

首先，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們不喜歡中文，要“翻譯”為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，例如畫(huà)張圖（幾何語(yǔ)言）

因此這道題的第一問(wèn)一點(diǎn)都不難，如果你對(duì)于橢圓的定義不熟悉，你即使會(huì)數(shù)學(xué)思維“翻譯”，知道要把中文翻譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，你也無(wú)從下手！

請(qǐng)記?。?b>如果說(shuō)數(shù)學(xué)思維就像是成為米其林三星大廚需要具備的手藝的話(huà)，那么基礎(chǔ)知識(shí)就是備菜。巧婦難為無(wú)米之炊，如果你的米沒(méi)有洗好，肉沒(méi)有切好，鍋沒(méi)有洗干凈，你的技藝再高超，也不可能做好一道菜。

那基礎(chǔ)概念應(yīng)該如何學(xué)習(xí)呢？

（1）精讀

其實(shí)數(shù)學(xué)也好，科學(xué)（物理，化學(xué)等）也罷和詩(shī)歌是非常相似的，都是在試圖用最精煉的語(yǔ)言表達(dá)：數(shù)學(xué)/科學(xué)是刻畫(huà)我們所處的外在環(huán)境-大自然的萬(wàn)千現(xiàn)象，詩(shī)歌是刻畫(huà)我們的內(nèi)心復(fù)雜的感情。

因此這樣的東西是沒(méi)有一個(gè)字是多余的。一定要精讀，一個(gè)詞一個(gè)詞的理解，不要像小說(shuō)一樣的去泛讀。

例如，我們剛剛講了什么叫做橢圓，那你別急著看下文，思考一下什么叫做雙曲線(xiàn)？

很多人的回答是：“到兩定點(diǎn)的距離之差等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合”，很遺憾這是錯(cuò)的。

正確的答案是：“到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合”，沒(méi)有了“絕對(duì)值”三個(gè)字，得出來(lái)的是雙曲線(xiàn)的一個(gè)分支。

如果我是高考命題人，我可以輕松出一道題目，就考這個(gè)基本概念，我估計(jì)又會(huì)“死掉”一大片。

學(xué)習(xí)物理又何嘗不是如此？例如什么叫摩擦力？

同學(xué)們要學(xué)會(huì)精讀，并且理解這些定義和概念。你們高中課本的定義是這樣寫(xiě)的：

阻礙物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)（或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)）的力叫做摩擦力。

我們來(lái)一點(diǎn)一點(diǎn)的理解：

一個(gè)力是向量，因此你必須說(shuō)清楚其大小和方向

首先是方向，摩擦力既然是”阻礙”，因此其方向是和相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向相反的，也就是說(shuō)和速度方向相反！那么什么叫做相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)？即，假如沒(méi)有摩擦力，這個(gè)物體會(huì)如何動(dòng)？摩擦力的方向就和這個(gè)運(yùn)動(dòng)方向相反。

那么大小呢？分為靜摩擦和動(dòng)摩擦兩種，靜摩擦用受力平衡來(lái)確定，而動(dòng)摩擦力的大小= $\mu N$

這樣不就十分清楚了？以后遇到任何關(guān)于摩擦力的問(wèn)題，你都可以輕松的利用上面的定義“翻譯”為物理中力的語(yǔ)言（物理模型），而后翻譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，解之，即可。

（2）費(fèi)曼學(xué)習(xí)法

現(xiàn)階段，不要求大家使用類(lèi)比等思維方式深層次地理解每一個(gè)概念背后的邏輯，然后表達(dá)得連一個(gè)小學(xué)生也聽(tīng)得懂。

你只需要這樣做：

用自己的話(huà)，在一分鐘內(nèi)把這個(gè)概念或者定理復(fù)述一遍。然后利用微信錄音，QQ錄音等錄下來(lái)，之后對(duì)比你講的和教科書(shū)上的內(nèi)容。如果一致，那么就說(shuō)明你懂了，如果不一致，或者說(shuō)不清楚，說(shuō)不出來(lái)，那么不好意思，你這個(gè)概念掌握得比較差。

我非常相信王陽(yáng)明先生的“知行合一”四個(gè)字，知而不行就是未知。在你運(yùn)用這些概念之前，最起碼的“行”就是能夠說(shuō)得出來(lái)，連說(shuō)都說(shuō)不出來(lái)，談什么知呢？

這也是用來(lái)自我檢驗(yàn)基礎(chǔ)概念的極佳方法。

例如你自己?jiǎn)栕约?，高中階段證明線(xiàn)面垂直至少可以有5個(gè)不同的定理，你能很快把他們說(shuō)出來(lái)嗎？如果不能，你就知道你的立體幾何的基礎(chǔ)不夠扎實(shí)。

（3）所有說(shuō)不用復(fù)習(xí)基礎(chǔ)就可以提分的都是騙子

有一部分不負(fù)責(zé)任的人，為了賺錢(qián)，弄出一堆什么“模板”“秒殺”，并宣稱(chēng)“不用復(fù)習(xí)基礎(chǔ)就會(huì)做題”。聽(tīng)起來(lái)特別牛，其實(shí)害人不淺。

首先，從邏輯上來(lái)說(shuō)，你的思維方式再高明，你可能在兩個(gè)小時(shí)內(nèi)倒推數(shù)學(xué)家?guī)装倌甏_定的各種定義和定理嗎？

再者，這類(lèi)模板秒殺我們金融上叫做“curve fitting”。他的模板只適合他精心挑選的一小類(lèi)題目，題目一改，就陣亡。在高考題越來(lái)越靈活的今天，靠這些垃圾，考試如何能夠提高？未來(lái)更是誤人終生！

記住：天上不會(huì)掉餡餅，如果掉了，注意是騙局。

2. 不掐著時(shí)間做題

考試，無(wú)論你喜歡還是不喜歡，最大的特點(diǎn)就是有時(shí)間限制。因此，一個(gè)能拿高分的人一定是簡(jiǎn)單的題目做得又快又對(duì)，這樣他/她才有時(shí)間思考難題。

因此，平常練習(xí)就應(yīng)該掐著時(shí)間做。例如選擇填空題就盡量不要超5分鐘。如果超過(guò)了，就把它當(dāng)做是錯(cuò)題 – 運(yùn)用數(shù)學(xué)三招思考，還有更加簡(jiǎn)單的方法嗎（例如特殊化）？我能總結(jié)什么模式？我需要記憶什么快速解答的公式嗎？

另外這樣練習(xí)也讓你十分熟悉考試的壓力和緊張感。真正考試的時(shí)候就不容易發(fā)揮失常。

3. 不會(huì)從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)

我先定義以下什么是錯(cuò)題：

1. 做錯(cuò)的題（包括3中：粗心，概念不清，以及邏輯問(wèn)題，這三者一定要嚴(yán)格區(qū)分開(kāi)來(lái)）

2. 不會(huì)做的題

3. 做得慢，沒(méi)有在規(guī)定時(shí)間做完的題

都是你的錯(cuò)題。

很多同學(xué)遇到錯(cuò)題，就掃一遍答案，看懂了，然后？然后就沒(méi)有然后了。

這樣的學(xué)習(xí)，恕我直言，你是在浪費(fèi)題目和時(shí)間！這樣日積月累，你表面上很努力，不過(guò)只是在重復(fù)做無(wú)用功罷了。

記?。哄e(cuò)誤是一個(gè)人最大的學(xué)習(xí)之源！

我的一生最重要的原則，方法都是從錯(cuò)誤（自己的+別人的）中學(xué)來(lái)的。正如孟子所言，聞過(guò)而喜。（我現(xiàn)在還沒(méi)有達(dá)到他的程度，出現(xiàn)問(wèn)題我往往還是比較不爽的，達(dá)不到“喜”的程度）

那么如何從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)呢？我總結(jié)了以下反饋環(huán)

遇到錯(cuò)誤，首先的就是要找原因。

例如，我的答案錯(cuò)了，是為什么？粗心，概念不清，還是邏輯不清？

例如有的同學(xué)在變換： $(x^2-1)/(x-1)$

直接寫(xiě)：

$(x^2-1)/(x-1)=x+1$

這不是粗心，而是邏輯不清。你沒(méi)有意識(shí)到你的變換不是充要變換，因?yàn)槟闵崛チ艘粋€(gè)限制條件（ $x\neq1$ ），因此會(huì)出現(xiàn)增根。

擴(kuò)而廣之，你要知道，天下間所有的題目只有兩類(lèi)，判斷題（包括證明題）和求解題。而求解題是求滿(mǎn)足某個(gè)條件的某未知數(shù)的取值范圍。必須是這個(gè)條件的充要變化才無(wú)增根，無(wú)失根，是完美的解。如果你轉(zhuǎn)化為其必要條件，例如上面的變化，那就記得要檢驗(yàn)。

這樣，你對(duì)這個(gè)錯(cuò)誤才真正學(xué)到東西了！

那么做不出來(lái)，做得慢呢？記住，看懂答案為什么是對(duì)的遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，關(guān)鍵是你要弄清楚下一次你要如何想，才能把這道題又快又對(duì)地做出來(lái) – 即解題思維是什么

這個(gè)思維就是我提到的數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)三招。有的同學(xué)學(xué)了，還是解不出題目，你就要思考，是不是我對(duì)數(shù)學(xué)三招的理解不夠？首先我能用自己的話(huà)把數(shù)學(xué)三招說(shuō)出來(lái)嗎？我有什么技巧沒(méi)有掌握？

我用下面的例子具體來(lái)說(shuō)明吧：

很多同學(xué)做不出這道題。注意，做不出來(lái)也是錯(cuò)題！

然后他們?nèi)タ创鸢?，答案看懂了，就沒(méi)有然后了。這對(duì)你解題有意義嗎？一點(diǎn)意義也沒(méi)有。

關(guān)鍵是未來(lái)如何思考才能解決這樣的問(wèn)題，思路在哪里。

這題背后的思路就是我們的第二招，特殊化。

原則：證偽比證明容易得多（因?yàn)橹恍枰业揭粋€(gè)反例即可），因此對(duì)于選擇題，很多時(shí)候我們可以用特殊的例子證偽三個(gè)選項(xiàng)，雖然我們沒(méi)有證明最后的選項(xiàng)是正確的，但只要這道題不是錯(cuò)題，我們就可以選擇了。這是特殊化的一個(gè)運(yùn)用。

對(duì)于這題來(lái)說(shuō)，我希望找到符合前面絕對(duì)值不等式的 $a,b,c$ 但和后面 $a^2+b^2+c^2＜100$ 矛盾的特殊值，怎么辦？

首先，要和后面矛盾，一個(gè)臨界值就是10，因?yàn)槿?img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=a%2Cb%2Cc" alt="a,b,c" /> 中其中有一個(gè)是10，后面的不等式就錯(cuò)了。這個(gè)就是我們的入手點(diǎn)。（技巧：特殊化的時(shí)候優(yōu)先從極端，特殊的開(kāi)始）

對(duì)于A,代入 $a=10$ ，發(fā)現(xiàn) $b$ 和其是對(duì)稱(chēng)的，因此我們也取 $b=10$ （這又是一個(gè)技巧，對(duì)稱(chēng)時(shí)候我們往往可以從相等的數(shù)開(kāi)始，因?yàn)闃O端，特殊），然后取 $c=-110$ 就成功找到反例了。