此文寫給那些學(xué)習(xí)很努力，但數(shù)學(xué)成績沒有進步的孩子們
李澤宇 本質(zhì)教育CEO
本文目標(biāo)受眾：
本文是寫給那些很努力，但是數(shù)學(xué)成績提不高（中考難度數(shù)學(xué)140分以下）的孩子和孩子家長的。對于成績的提高，很遺憾，和絕大多數(shù)事情一樣，老師只是外因，但最重要的卻是內(nèi)因。
有兩種孩子我是不太愿意在他們身上浪費時間的：
- 懶惰，自己不想學(xué)習(xí)的孩子。有一句話叫做“天助自助者”，如果一個人自己不愿意改變，沒有人能夠幫得了他。
- 自以為是。有些孩子掃一眼別人的中肯建議，然后不加以嘗試和實踐，便說“這個方法不適合我”。不好意思，你沒有那么特別。人的共性遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于個性，這是教育有存在必要的邏輯基石。我不相信“適合你的方法”，只相信科學(xué)的方法。
如果你不屬于上面兩種人，很好，請繼續(xù)往下看：
那么很多孩子的數(shù)學(xué)為什么學(xué)不好呢？我分析了以下的原因：
- 蒙，猜，憑感覺做題的壞習(xí)慣 – 數(shù)學(xué)是一門極為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科！
如果評選一門學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性，那么數(shù)學(xué)絕對是當(dāng)之無愧的第一，沒有之一。數(shù)學(xué)本身是極為美妙的公理演繹體系(axiom-deduction system)，換句話說，只要構(gòu)建數(shù)學(xué)各個分支的基石 – 公理是正確的（+定義無矛盾），那么其所有的結(jié)論（定理）都必須是正確的。而數(shù)學(xué)解題也是如此，每一道題目的求解在邏輯上必須是完美的：
（1）對于求證題（判斷題），只要已知和定理是正確的，那么被證明的命題一定是正確的；
（2）對于求解題，求出來的解一定是符合題目條件的所有解，既沒有增根也不應(yīng)該失根。
因此我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題中必須十分重視嚴(yán)謹(jǐn)性這一點，具體就是要做到每一步都要有理有據(jù)（我這里不想過多深入，有興趣的同學(xué)可以查一下，數(shù)學(xué)大多數(shù)的推理需要符合假言推理這種演繹推理模式。而求解題要對題目條件進行充要變換才能做到無失根，無增根。）
我經(jīng)常對學(xué)生說: 學(xué)數(shù)學(xué)不能靠感覺，不允許說“我覺得…”，“我以為…”，每一步都要有理有據(jù)。這一點其實從初中平面幾何開始就十分強調(diào)了：
所有初中學(xué)生一開始學(xué)習(xí)平面幾何的時候，教材會要求同學(xué)們在每一步后面用括號把這一步的理由（利用了什么定理，定義）寫下來，例如：
然后遺憾的是，很多同學(xué)并沒有形成這種理性思維，即每一步都有理有據(jù)的習(xí)慣。他們在解題的時候繼續(xù)憑感覺，肆意妄為，說得難聽些，這樣的孩子恐怕連數(shù)學(xué)的門都還沒有入。因此，我的建議是，如果你有亂猜，憑感覺做題的壞習(xí)慣：
1） 從今天開始，老老實實地每一步用括號把理由寫到后面，哪怕做題慢一些，也要把這個習(xí)慣養(yǎng)成；
2） 從今天開始，你的錯題只有可能是粗心做錯或者概念不清做錯，絕對不允許是因為亂猜出錯。
等這個習(xí)慣開始養(yǎng)成，你看待數(shù)學(xué)會有第一個質(zhì)變 – 原來數(shù)學(xué)是如此嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，是如此美的東西。你開始理解難怪?jǐn)?shù)學(xué)可以拿到滿分，而語文卻很難（例如作文的好壞就有一定的主觀性）。你也開始意識到理性思維的作用。這對你今后，無論是中學(xué)階段的物理，化學(xué)等的學(xué)習(xí)還是到了大學(xué)，研究生階段對金融，工程等的學(xué)習(xí)都十分重要。
順便說一句，我教授的高中生不少也有這個瞎蒙的毛病，如果你是一位高中生或考研的大學(xué)生而很遺憾你也有這個爛習(xí)慣，也請你下功夫改掉。
那么數(shù)學(xué)不允許猜測嗎？不，事實上數(shù)學(xué)解決問題中大量使用各種似真推理和猜想。但無論如何猜測，最后的結(jié)論必須要能夠證明，必須要符合邏輯。大膽猜想，小心求證！這里我們強調(diào)的就是“小心求證”這4個字。
- 基礎(chǔ)不扎實，不會用數(shù)學(xué)語言來學(xué)習(xí)概念，定理
而同樣是大數(shù)學(xué)家笛卡爾，他引入了直角坐標(biāo)系，從而把幾何中的基本元素 – 點，轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的有序數(shù)對，從而在代數(shù)語言和幾何語言之間形成了互譯。這也就是很多人所說的數(shù)形結(jié)合（數(shù)指代數(shù)語言，形指幾何語言）。因此對于數(shù)學(xué)上的每一個概念，我們要利用數(shù)學(xué)語言對其一絲不茍地理解，這樣才能真正學(xué)好數(shù)學(xué)。
例如，問什么叫做有理數(shù)？很多同學(xué)支支吾吾說不清楚，這就是基礎(chǔ)不扎實的標(biāo)志。我們用數(shù)學(xué)語言可以很好的表達(dá)：
（2）的證明留給同學(xué)們自己。
于是我們才可能解決這樣的初中數(shù)學(xué)題目：
盡管初中階段的大多數(shù)定義和定理并不復(fù)雜，同學(xué)們從現(xiàn)在就應(yīng)該養(yǎng)成精讀并用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確理解概念和定理的習(xí)慣，這對于大家后續(xù)在高中和大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)十分重要。我們本質(zhì)教育李澤宇三招TM的第一招就叫做翻譯，就是在解題的時候把中文翻譯成數(shù)學(xué)語言，同時在合適的時候在不同的數(shù)學(xué)語言之間進行互譯。沒有了良好的基礎(chǔ)，這一招就成了空中樓閣，正所謂巧婦難為無米之炊。
如何檢驗自己的基礎(chǔ)概念是否扎實？
費曼學(xué)習(xí)法
這是大物理學(xué)家費曼提出來的學(xué)習(xí)方法?，F(xiàn)階段，不要求大家使用類比等思維方式深層次地理解每一個概念背后的邏輯然后表達(dá)得連一個小學(xué)生也聽得懂，你只需要這樣做：
用自己的話，在一分鐘內(nèi)把概念或者定理復(fù)述一遍。然后利用微信錄音，QQ錄音等錄下來，之后對比你講的和教科書上的內(nèi)容。如果一致，那么就說明你懂了，如果不一致，或者說不清楚，說不出來，那么不好意思，你這個概念掌握得比較差。
我非常相信王陽明先生的“知行合一”四個字，知而不行就是未知。在你運用這些概念之前，最起碼的“行”就是能夠說得出來，連說都說不出來，談什么知呢？
- 盲目做題，刷題，不去體悟數(shù)學(xué)思維 – 解決問題之道
最開始我成立本質(zhì)教育并只教授高中數(shù)學(xué)，是因為我認(rèn)為現(xiàn)有的高中數(shù)學(xué)教育是非常有問題的：數(shù)學(xué)變得死記硬背，學(xué)生沒有學(xué)到創(chuàng)造性的解題（解決他們從所未見的問題）的思維和能力，從而導(dǎo)致長大了容易“高分低能”。（我在匯豐工作期間，遇到的一些從世界一流大學(xué)畢業(yè)的孩子，做老師教過的，老板教過的問題，勤勤懇懇。但要他們給他們一個探索性的項目，往往無從下手。）
我本來以為初中的數(shù)學(xué)（至少中考難度的數(shù)學(xué)）比較簡單，用不了多少數(shù)學(xué)思維，因此一直沒有開設(shè)初中課程。但有很多家長找到我們，迫切希望我們開設(shè)初中課程。等我實際開始做最近這幾年的中考題，發(fā)現(xiàn)至少在平面幾何上，一些中考的壓軸題并不簡單（至少不比高考題目簡單），對數(shù)學(xué)思維也有了一定的要求。因此，我們也開設(shè)的初中課程，并從初中就將數(shù)學(xué)思維教授給同學(xué)們。隨著我接觸的初中孩子越來越多，我也越來越發(fā)現(xiàn)這么做的必要性。
這一部分內(nèi)容較多，也比較抽象，不可能用一篇文章就概括了，我現(xiàn)在就用一道中考平面幾何題來談數(shù)學(xué)思維 – 李澤宇三招TM的一部分運用：
例2（2014?丹東）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，點E、F同時由A、C兩點出發(fā)，分別沿AB、CB方向向點B勻速移動（到點B為止），點E的速度為1cm/s，點F的速度為2cm/s，經(jīng)過t秒△DEF為等邊三角形，求t的值？
首先，在解決數(shù)學(xué)問題時，我們要把中文翻譯為數(shù)學(xué)語言（第一招：翻譯）
我們題目要求的就是的長度。從現(xiàn)在開始，我們把一道題目要求解的或者要求證的東西叫做目標(biāo)。
無論是解題，還是現(xiàn)實生活中處理問題，有能力的人的目標(biāo)性都是很強的。我們有句成語，那就是“有的放矢”，意思是要朝著靶子射箭。這個靶子就是目標(biāo)。如果一個人射箭不看靶子，那么十有八九這個人會脫靶。
類似的，一個足球運動員不緊緊盯著對方的球門（目標(biāo)），是踢不好足球的；一個棋手，不緊緊盯住對方的將帥（目標(biāo)），是成不了好棋手的……
數(shù)學(xué)也不例外。解題的高手往往不是從已知去推理，因為這么做就好比射箭不看靶子，簡單的題目，已知和目標(biāo)的聯(lián)系清楚（射箭之人距離靶子很近），這么操作是可以解題的，但遇到有難度的題目（射箭之人距離靶子較遠(yuǎn)），這樣做就和碰運氣差不多了。因此高手們是反過來，從目標(biāo)入手：
盯住目標(biāo)，將其和已知結(jié)合，聯(lián)想相關(guān)的定理，定義，方法。
和下棋一樣，你要想弄死對方的老帥，需要盡可能的把你的兵力，例如車馬炮移動到對方的陣營，這就是“結(jié)合”?，F(xiàn)在我們也來移動我們的目標(biāo)將其和已知結(jié)合。平面幾何上的移動就是教材里面的平移，旋轉(zhuǎn)，和翻折變換。這些都是全等變換。由于???? = ????，取????中點??， 連接????，如下圖 ：
我希望同學(xué)們體會的，是這些輔助線是怎么做出來的，不是瞎貓碰到死耗子碰運氣猜出來的，而是有的放矢找出來的。
這就是這題的唯一解法嗎？我們還有別的方法把已知和目標(biāo)結(jié)合嗎？當(dāng)然，李澤宇三招TM來源于數(shù)學(xué)哲學(xué)，當(dāng)然是無比靈活的：
解法2：我們之前說了，非直角三角形在初中階段不好處理，而已知，這又是特殊角，因此我們自然構(gòu)建直角三角形，把目標(biāo)和已知結(jié)合起來。于是我們作于，如下圖
同樣的，同學(xué)們好好體會思維的過程，這些輔助線和之前解法1的全然不同，但都是有的放矢地想出來的。
我這里再寫一種解法，讓同學(xué)們體會李澤宇三招TM即數(shù)學(xué)思維的靈活性：
還是一樣，這個輔助線仍然是有的放矢地做出來的，并不靠什么靈感，天分！
我想通過這么一道題目，同學(xué)們對什么是數(shù)學(xué)思維有了初步的認(rèn)識。這樣子學(xué)數(shù)學(xué)才學(xué)到了數(shù)學(xué)的精髓，也才真正開始學(xué)好數(shù)學(xué)。
- 不會從錯誤中學(xué)習(xí)
我先定義以下什么是錯題：
- 做錯的題（包括3種：粗心，概念不清，以及邏輯問題，這三者一定要嚴(yán)格區(qū)分開來）
- 不會做的題
- 做得慢，沒有在規(guī)定時間做完的題
都是你的錯題。
很多同學(xué)遇到錯題，就掃一遍答案，看懂了，然后？然后就沒有然后了。
這樣的學(xué)習(xí)，恕我直言，你是在浪費題目和時間！這樣日積月累，你表面上很努力，不過只是在重復(fù)做無用功罷了。
據(jù)我的觀察，很多同學(xué)很努力，但是他們的進步曲線是平的，如下圖：
他們無非是不斷地跌落在同樣的坑里面吧了。說得難聽些，這個叫做偽勤奮。
請記?。哄e誤是一個人最大的學(xué)習(xí)之源！
我的一生最重要的原則，方法都是從錯誤（自己的+別人的）中學(xué)來的。正如孟子所言，聞過而喜。（我現(xiàn)在還沒有達(dá)到他的程度，出現(xiàn)問題我往往還是比較不爽的，達(dá)不到“喜”的程度）
那么如何從錯誤中學(xué)習(xí)呢？我總結(jié)了以下反饋環(huán)
遇到錯誤，首先的就是要找原因。例如上面的例2，若你做不出來，你要問自己：
- 為什么我做不出來，是數(shù)學(xué)思維(李澤宇三招TM)哪一點沒有掌握好？
- 我能用自己的話說出這第三招嗎？
- 我能夠遮住答案，模仿老師的思維，把這一題用三種方法解出來嗎？
- 我能用老師沒說過的方法求解出來嗎？
這樣，你每一題就會得到進步。1題，2題…10題，100題，扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)+數(shù)學(xué)思維不就是你的囊中之物了嗎？何愁考試考不好?
- 知行合一
知而不行就是不知！一部分同學(xué)說：老師你講得太好了，我一定努力跟著學(xué)習(xí)。一個月以后問他，你研究了幾道錯題呀？用了費曼學(xué)習(xí)法把每個概念用自己的話說一遍了嗎？
回答：……
你現(xiàn)在明白你為什么數(shù)學(xué)成績提不高了嗎？
最后祝各位在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上有巨大的進步！
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