此文寫給那些學(xué)習(xí)很努力，但數(shù)學(xué)成績沒有進(jìn)步的孩子們—本質(zhì)教育CEO李澤宇
為什么寫這篇文章 – 我犯的錯誤：
最開始我成立本質(zhì)教育并教授高中數(shù)學(xué)，是因為我認(rèn)為現(xiàn)有的高中數(shù)學(xué)教育是非常有問題的：數(shù)學(xué)變得死記硬背，學(xué)生沒有學(xué)到創(chuàng)造性的解題（解決他們從所未見的問題）的思維和能力，從而導(dǎo)致長大了容易“高分低能”。（我在匯豐工作期間，遇到的一些從世界一流大學(xué)畢業(yè)的孩子，做老師教過的，老板教過的問題，勤勤懇懇。但要他們給他們一個探索性的項目，往往無從下手。）
我本來想：我把數(shù)學(xué)哲學(xué)（數(shù)學(xué)家是如何思考來解決問題的）以及我從里面總結(jié)的數(shù)學(xué)三招教給學(xué)生了，那么高考難度的數(shù)學(xué)不就是小菜一碟嗎？（關(guān)于數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)三招，參考我的另外一篇文章： ）
后面我發(fā)現(xiàn)，事情沒有這么簡單。為此我寫了這篇文章，希望能對同學(xué)們所助益：
1. 基礎(chǔ)（定義，定理）不扎實
我當(dāng)年學(xué)數(shù)學(xué)的時候，沒有這個毛病。但隨著我接觸的孩子越來越多，我發(fā)現(xiàn)很多孩子很努力，但是根本不會學(xué)習(xí)，尤其是不會仔細(xì)體會和品味這些理科的概念。他們很努力，拼命刷題，但仍然對這些概念一知半解。甚至還有同學(xué)質(zhì)疑，說“不用掌握概念我也可以做題”。是的，你的確可以做一部分題，但題目一變，你就完蛋。
很多同學(xué)這題做不出來。我結(jié)合數(shù)學(xué)三招來解答：
首先，解決數(shù)學(xué)問題，我們不喜歡中文，要“翻譯”為數(shù)學(xué)語言，例如畫張圖（幾何語言）
因此這道題的第一問一點都不難，如果你對于橢圓的定義不熟悉，你即使會數(shù)學(xué)思維“翻譯”，知道要把中文翻譯為數(shù)學(xué)語言，你也無從下手！
請記住：如果說數(shù)學(xué)思維就像是成為米其林三星大廚需要具備的手藝的話，那么基礎(chǔ)知識就是備菜。巧婦難為無米之炊，如果你的米沒有洗好，肉沒有切好，鍋沒有洗干凈，你的技藝再高超，也不可能做好一道菜。
那基礎(chǔ)概念應(yīng)該如何學(xué)習(xí)呢？
（1） 精讀
其實數(shù)學(xué)也好，科學(xué)（物理，化學(xué)等）也罷和詩歌是非常相似的，都是在試圖用最精煉的語言表達(dá)：數(shù)學(xué)/科學(xué)是刻畫我們所處的外在環(huán)境-大自然的萬千現(xiàn)象，詩歌是刻畫我們的內(nèi)心復(fù)雜的感情。
因此這樣的東西是沒有一個字是多余的。一定要精讀，一個詞一個詞的理解，不要像小說一樣的去泛讀。
例如，我們剛剛講了什么叫做橢圓，那你別急著看下文，思考一下什么叫做雙曲線？
很多人的回答是：“到兩定點的距離之差等于定長的點的集合”，很遺憾這是錯的。
正確的答案是：“到兩定點的距離之差的絕對值等于定長的點的集合”，沒有了“絕對值”三個字，得出來的是雙曲線的一個分支。
如果我是高考命題人，我可以輕松出一道題目，就考這個基本概念，我估計又會“死掉”一大片。
學(xué)習(xí)物理又何嘗不是如此？例如什么叫摩擦力？
同學(xué)們要學(xué)會精讀，并且理解這些定義和概念。你們高中課本的定義是這樣寫的：
阻礙物體相對運動（或相對運動趨勢）的力叫做摩擦力。
我們來一點一點的理解：
一個力是向量，因此你必須說清楚其大小和方向
首先是方向，摩擦力既然是”阻礙”，因此其方向是和相對運動方向相反的，也就是說和速度方向相反！那么什么叫做相對運動趨勢？即，假如沒有摩擦力，這個物體會如何動？摩擦力的方向就和這個運動方向相反。
那么大小呢？分為靜摩擦和動摩擦兩種，靜摩擦用受力平衡來確定，而動摩擦力的大小=
這樣不就十分清楚了？以后遇到任何關(guān)于摩擦力的問題，你都可以輕松的利用上面的定義“翻譯”為物理中力的語言（物理模型），而后翻譯為數(shù)學(xué)語言，解之，即可。
（2） 費曼學(xué)習(xí)法
現(xiàn)階段，不要求大家使用類比等思維方式深層次地理解每一個概念背后的邏輯，然后表達(dá)得連一個小學(xué)生也聽得懂。
你只需要這樣做：
用自己的話，在一分鐘內(nèi)把這個概念或者定理復(fù)述一遍。然后利用微信錄音，QQ錄音等錄下來，之后對比你講的和教科書上的內(nèi)容。如果一致，那么就說明你懂了，如果不一致，或者說不清楚，說不出來，那么不好意思，你這個概念掌握得比較差。
我非常相信王陽明先生的“知行合一”四個字，知而不行就是未知。在你運用這些概念之前，最起碼的“行”就是能夠說得出來，連說都說不出來，談什么知呢？
這也是用來自我檢驗基礎(chǔ)概念的極佳方法。
例如你自己問自己，高中階段證明線面垂直至少可以有5個不同的定理，你能很快把他們說出來嗎？如果不能，你就知道你的立體幾何的基礎(chǔ)不夠扎實。
（3）所有說不用復(fù)習(xí)基礎(chǔ)就可以提分的都是騙子
有一部分不負(fù)責(zé)任的人，為了賺錢，弄出一堆什么“模板”“秒殺”，并宣稱“不用復(fù)習(xí)基礎(chǔ)就會做題”。聽起來特別牛，其實害人不淺。
首先，從邏輯上來說，你的思維方式再高明，你可能在兩個小時內(nèi)倒推數(shù)學(xué)家?guī)装倌甏_定的各種定義和定理嗎？
再者，這類模板秒殺我們金融上叫做“curve fitting”。他的模板只適合他精心挑選的一小類題目，題目一改，就陣亡。在高考題越來越靈活的今天，靠這些垃圾，考試如何能夠提高？未來更是誤人終生！
記住：天上不會掉餡餅，如果掉了，注意是騙局。
2. 不掐著時間做題
考試，無論你喜歡還是不喜歡，最大的特點就是有時間限制。因此，一個能拿高分的人一定是簡單的題目做得又快又對，這樣他/她才有時間思考難題。
因此，平常練習(xí)就應(yīng)該掐著時間做。例如選擇填空題就盡量不要超5分鐘。如果超過了，就把它當(dāng)做是錯題 – 運用數(shù)學(xué)三招思考，還有更加簡單的方法嗎 （例如特殊化）？我能總結(jié)什么模式？我需要記憶什么快速解答的公式嗎？
另外這樣練習(xí)也讓你十分熟悉考試的壓力和緊張感。真正考試的時候就不容易發(fā)揮失常。
3. 不會從錯誤中學(xué)習(xí)
我先定義以下什么是錯題：
1. 做錯的題（包括3中：粗心，概念不清，以及邏輯問題，這三者一定要嚴(yán)格區(qū)分開來）
2. 不會做的題
3. 做得慢，沒有在規(guī)定時間做完的題
都是你的錯題。
很多同學(xué)遇到錯題，就掃一遍答案，看懂了，然后？然后就沒有然后了。
這樣的學(xué)習(xí)，恕我直言，你是在浪費題目和時間！這樣日積月累，你表面上很努力，不過只是在重復(fù)做無用功罷了。
記?。哄e誤是一個人最大的學(xué)習(xí)之源！
我的一生最重要的原則，方法都是從錯誤（自己的+別人的）中學(xué)來的。正如孟子所言，聞過而喜。（我現(xiàn)在還沒有達(dá)到他的程度，出現(xiàn)問題我往往還是比較不爽的，達(dá)不到“喜”的程度）
那么如何從錯誤中學(xué)習(xí)呢？我總結(jié)了以下反饋環(huán)
遇到錯誤，首先的就是要找原因。
例如，我的答案錯了，是為什么？粗心，概念不清，還是邏輯不清？
例如有的同學(xué)在變換：
直接寫：
這不是粗心，而是邏輯不清。你沒有意識到你的變換不是充要變換，因為你舍去了一個限制條件（ ），因此會出現(xiàn)增根。
擴而廣之，你要知道，天下間所有的題目只有兩類，判斷題（包括證明題）和求解題。而求解題是求滿足某個條件的某未知數(shù)的取值范圍。必須是這個條件的充要變化才無增根，無失根，是完美的解。如果你轉(zhuǎn)化為其必要條件，例如上面的變化，那就記得要檢驗。
這樣，你對這個錯誤才真正學(xué)到東西了！
那么做不出來，做得慢呢？記住，看懂答案為什么是對的遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，關(guān)鍵是你要弄清楚下一次你要如何想，才能把這道題又快又對地做出來 – 即解題思維是什么
這個思維就是我提到的數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)三招。 有的同學(xué)學(xué)了，還是解不出題目，你就要思考，是不是我對數(shù)學(xué)三招的理解不夠？首先我能用自己的話把數(shù)學(xué)三招說出來嗎？我有什么技巧沒有掌握？
我用下面的例子具體來說明吧：
很多同學(xué)做不出這道題。注意，做不出來也是錯題！
然后他們?nèi)タ创鸢?，答案看懂了，就沒有然后了。這對你解題有意義嗎？一點意義也沒有。
關(guān)鍵是未來如何思考才能解決這樣的問題，思路在哪里。
這題背后的思路就是我們的第二招，特殊化。
原則：證偽比證明容易得多（因為只需要找到一個反例即可），因此對于選擇題，很多時候我們可以用特殊的例子證偽三個選項，雖然我們沒有證明最后的選項是正確的，但只要這道題不是錯題，我們就可以選擇了。這是特殊化的一個運用。
對于這題來說，我希望找到符合前面絕對值不等式的 但和后面
矛盾的特殊值，怎么辦？
首先，要和后面矛盾，一個臨界值就是10，因為若 中其中有一個是10，后面的不等式就錯了。這個就是我們的入手點。（技巧：特殊化的時候優(yōu)先從極端，特殊的開始）
對于A,代入 ，發(fā)現(xiàn)
和其是對稱的，因此我們也取
（這又是一個技巧，對稱時候我們往往可以從相等的數(shù)開始，因為極端，特殊），然后取
就成功找到反例了。
對于B，代入 ，為了使得絕對值中很小，取
即可，又找到反例了
對于C，取 即可推翻
因此答案是D，我們無需在D上面浪費哪怕一秒鐘。
從這道題你就學(xué)會了特殊化思維中的很多技巧。這樣，每一題對你來說都有所得，然后你再在下一題中檢驗?zāi)愕乃?，很快，你的水平不就直線上升了？
關(guān)于錯誤，我還有很多推論，例如：領(lǐng)導(dǎo)力中的：一個不允許員工犯錯的領(lǐng)導(dǎo)不是好領(lǐng)導(dǎo)，一個不允許孩子犯錯的家長不是好家長
創(chuàng)業(yè)中：很多時候，犯錯在所難免，我們要加速犯錯的過程，犯小錯，學(xué)大道理
這些不是這篇文章的內(nèi)容，有機會再寫一個文章細(xì)說。
我想同學(xué)們通過我的這篇文章應(yīng)該學(xué)會如何學(xué)習(xí)。這篇文章的道理也適用于物理，化學(xué)，GMAT等的學(xué)習(xí)。希望大家數(shù)學(xué)進(jìn)步！
