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作者：本質(zhì)教育魏旭東

本質(zhì)教育高考數(shù)學(xué)破題解析開課啦?。?！

每周一、三、五更新新篇，將會(huì)從18年高考開始，致力于用三招將高考數(shù)學(xué)中具有代表性的題逐個(gè)擊破。

本質(zhì)教育高中數(shù)學(xué)致力于培養(yǎng)學(xué)生的思維方式，提供思維能力，打破固有的刷題和死記硬背模式，讓學(xué)生沖刺高考數(shù)學(xué)的140+。

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數(shù)學(xué)三招：翻譯、特殊化、盯住目標(biāo)

翻譯：文字、數(shù)學(xué)語(yǔ)言、圖形，將題目中出現(xiàn)的這三者進(jìn)行合理的相互間轉(zhuǎn)化。

特殊化：根據(jù)題目或者選項(xiàng)的限制條件，取一些特殊值或特殊的式子，尋找特殊規(guī)律，再推及一般規(guī)律，在高難度的題中可以用特殊化進(jìn)行猜想。

盯住目標(biāo)：緊盯目標(biāo)，聯(lián)想相關(guān)的定理、性質(zhì)、公式，與題目已知聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)行解題，在難題中有時(shí)候也可以用盯住目標(biāo)聯(lián)想公式進(jìn)行合理猜想。

三招雖然簡(jiǎn)單易懂，但是如果要熟練運(yùn)用，難度還是很大的，所以，也就有了我們本質(zhì)教育高中數(shù)學(xué)。

2018.10.22更新

（過(guò)于簡(jiǎn)單的題目不再贅述，這里我們只選取稍微凸顯思考的題）

已知函數(shù)? $f(x)=(2+x+ax^2)ln(1+x)-2x$

（1）若a=0，證明：當(dāng)-1<x<0時(shí)，f（x）<0；當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>0；

（2）若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求a.

三招破題

（1）盯住目標(biāo)：證明兩個(gè)范圍內(nèi)的函數(shù)分別大于和小于0，那么我們先把f(x)寫出來(lái)看看

a=0時(shí)，f(x)=(x+2)ln(1+x)-2x，那么當(dāng)-1<x<0時(shí)，f（x）<0，可以翻譯成在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，? $f(x)_{max}<0$ ?；當(dāng)x<0時(shí)，f（x）>0，可以翻譯成在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，? $f(x)_{min}>0$

那此時(shí)我們這個(gè)題的目標(biāo)就變成了求相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的函數(shù)最值，怎么求，這是個(gè)導(dǎo)數(shù)題，是不是聯(lián)想到求導(dǎo)。

$f'(x)=ln(1+x)+\frac{2+x}{x+1}-2=ln(1+x)-\frac{x}{x+1}$ ?，無(wú)法直接判斷其正負(fù)號(hào)，

$f''(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}$ ?，這樣是不是簡(jiǎn)潔多了，那接下來(lái)我們是不是只需要判斷題目所給的區(qū)間中它們的正負(fù)號(hào)和單調(diào)性即可。

①當(dāng)x>0時(shí)，f”(x)顯然大于0，那么f'(x)在x>0時(shí)單調(diào)遞增，f'(x)>f'(0)=0，所以f(x)在x>0時(shí)單調(diào)遞增，所以f(x)>f(0)=0.

①當(dāng)-1<x<0時(shí)，顯然f'(x)小于0，那么f'(x)在-1<x<0時(shí)單調(diào)遞減，f'(x)<f'(0)=0，所以f(x)在-1<x<0時(shí)單調(diào)遞減，所以f(x)<f(0)=0.

第二問(wèn)將有大量文字?。?！前方高能，非戰(zhàn)斗人員請(qǐng)盡快撤離！??！

（2）盯住目標(biāo)：我們需要求出當(dāng)a=?時(shí)，x=0是f（x）的極大值點(diǎn)。那我們的目標(biāo)是不是等價(jià)于先求出f(x)的極大值點(diǎn)是什么式子，如果不能確定的求出來(lái)是不是可以利用特殊猜想范圍，然后求a=？時(shí)，這個(gè)點(diǎn)會(huì)等于0.

$f'(x)=\frac{ax^2-x+(1+2ax)(1+x)ln(x+1)}{x+1}$ ?，這個(gè)式子無(wú)法直接判斷正負(fù)性，而分子顯然是正的（指數(shù)函數(shù)定義域），所以我們只需要考慮分子，即再對(duì)分子求一次導(dǎo)。

令? $h(x)=ax^2-x+(1+2ax)(1+x)ln(x+1)$ ?，

$h'(x)=4ax+(4ax+2a+1)ln(x+1)$ ?，那此時(shí)沒(méi)有頭緒怎么辦，我們來(lái)特殊化試試，最大值點(diǎn)意味著在x=0這個(gè)點(diǎn)要出現(xiàn)駐點(diǎn)和拐點(diǎn)，那么x=0時(shí)，h'(x)=0，那如果我們猜想a=0呢（看看第一問(wèn)），此時(shí)是不是h'(x)=ln(x+1)，a=1時(shí)呢，h'(x)=4x+(4x+3)ln(x+1)，這時(shí)候當(dāng)x>0時(shí)，兩種情況下的h'(x)顯然是>0的，那么h(x)>h(0)=0，即f'(x)>0，即f(x)在x>0時(shí)單調(diào)遞增，此時(shí)x=0不可能是最大值點(diǎn)。

那么此時(shí)通過(guò)這里的猜想我們是不是可以猜想出a? $\geq$ ?0，x>0時(shí)不合題意，再想，確實(shí)是可以不用計(jì)算就看出來(lái)的，我們主要是找到這個(gè)討論a的分界點(diǎn)?？荚嚂r(shí)可以直接寫，不用猜想。

那么a<0時(shí)，不能用眼睛看出來(lái)了，我們計(jì)算下，? $h''(x)=8a+4aln(x+1)+\frac{1-2a}{x+1}$

a<0時(shí)，這個(gè)式子不用計(jì)算，我們能看出來(lái)h”(x)是個(gè)減函數(shù)，那么此時(shí)我們需要求f(x)的極大值，是不是相當(dāng)于f'(x)的正負(fù)號(hào)改變的臨界點(diǎn)，即h'(x)正負(fù)號(hào)改變的臨界點(diǎn)。

①同樣，令h”(x)=0，解得? $a=-\frac{1}{6}$ ?，接下來(lái)怎么分區(qū)間討論符號(hào)呢，第一問(wèn)不是擺設(shè)哦，OK，我們用第一問(wèn)的區(qū)間來(lái)試一試，當(dāng)-1<x<0時(shí)，h”(x)>0，h'(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>0時(shí)，h”(x)<0，h'(x)單調(diào)遞減，此時(shí)x=0為f(x)極大值點(diǎn)。

但是不要太高興了，畢竟這里我們只驗(yàn)證了充分性，我們還需要當(dāng)a取其他時(shí)可不可能！

②? $-\frac{1}{6}<a<0時(shí)$ ?，h”(0)=1+6a>0，剛才我們上面說(shuō)過(guò)h”(x)是個(gè)減函數(shù)，我們的目標(biāo)失去找h'(x)正負(fù)號(hào)改變的臨界點(diǎn)，那么x=0時(shí)h”(x)>0，那么肯定在0的右邊，有一個(gè)點(diǎn)可以讓h”(x)<0，此時(shí)我們聯(lián)想下放縮法，需要找到一個(gè)h”(x)<什么東西，那么，在0的右邊，我們可以直接把分母去掉，相當(dāng)于放大，等于：h”(x)<4aln(1+x)+1+6a，那么令不等式的右邊小于0，得到? $x>e^{-\frac{1+6a}{4a}}-1$ ?，即在這個(gè)范圍下，4aln(1+x)+1+6a<0。