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作者：本質教育魏旭東

本質教育高考數學破題解析開課啦?。。?/b>

每周一、三、五更新新篇，將會從18年高考開始，致力于用三招將高考數學中具有代表性的題逐個擊破。

本質教育高中數學致力于培養(yǎng)學生的思維方式，提供思維能力，打破固有的刷題和死記硬背模式，讓學生沖刺高考數學的140+。

本質教育高中數學網址：本質教育高中數學

數學三招：翻譯、特殊化、盯住目標

翻譯：文字、數學語言、圖形，將題目中出現(xiàn)的這三者進行合理的相互間轉化。

特殊化：根據題目或者選項的限制條件，取一些特殊值或特殊的式子，尋找特殊規(guī)律，再推及一般規(guī)律，在高難度的題中可以用特殊化進行猜想。

盯住目標：緊盯目標，聯(lián)想相關的定理、性質、公式，與題目已知聯(lián)系起來，進行解題，在難題中有時候也可以用盯住目標聯(lián)想公式進行合理猜想。

三招雖然簡單易懂，但是如果要熟練運用，難度還是很大的，所以，也就有了我們本質教育高中數學。

2018.8.31更新

（過于簡單的題目不再贅述，這里我們只選取稍微凸顯思考的題）

2018年全國Ⅰ卷理科數學（大題部分）

試卷第21題

已知函數? $f(x)=\frac{1}{x}-x+alnx$ ?,

（1）討論f(x)單調性；

（2）若f(x)存在兩個極值點? $x_{1},x_{2}$ ?，證明? $\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}<a-2$ ?.

哇導數題哎，一般是整張試卷的壓軸題。

不過我們不需要背套路，不需要背分類。

我們只需要記住性質、背住公式，用三招就能解題！

三招破題

（1）

、：討論函數單調性，這是一個最基礎的導數題第一問，導數題求單調性，除非是特別特別簡單的基礎函數，否則我們只能求導。

首先定義域：x>0，

$f`(x)=\frac{-x^{2}+ax-1}{x^{2}}$ ?，導函數已經寫出來了，那單調區(qū)間關鍵就是找出導函數的正負號，

顯然分母大于0，所以我們只需要討論分子，一個二次函數，

那對于二次函數，最基本的就是? $\Delta$ ?，

$\Delta=a^{2}-4$ ?，因為二次項系數為-1，所以討論 $\Delta$ 正負性即可。

① $\Delta$ <0，即-2<a<2時，方程沒有實數根，則f`(x)在（0,+? $\infty$ ?）恒大于0，f(x)單調遞增，

② $\Delta$ ? $\geq0$ ?，即? $a\geq2或a\leq-2$ ?，此時方程有解，

接下來的過程即最繁瑣的一步，只需在a的每一種情況下分別求解f`(x)>0和<0的區(qū)間即可，不用特別在意等號（時刻盯住目標，注意定義域）。

（后面計算交給同學們自己，思路很簡單，計算我們幫不了你）

（2）壓軸的第二問來了，別怕，盯住目標：我們要證明這么個不等式。

沒有太多思路的情況下，我們回到題目，翻譯一下：兩個極值點，注意上面說的注意定義域，此時a必然大于2。

那我們接著把目標式子化簡一下， $x_{1},x_{2}$ 是兩個極值點，我們不妨設? $x_{1}<x_{2}$ ?，則根據第一問的計算， $x_{1}$ ?=? $\frac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}$ ?,? $x_{2}$ ?=? $\frac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2}$ ?，顯然這里發(fā)現(xiàn)? $x_{1}x_{2}=1$

$\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}=$ ? $\frac{1}{x_{1}-x_{2}}(\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}-x_{1}+x_{2}+alnx_{1}-alnx_{2})$

=? $\frac{1}{\sqrt{a^{2}-4}}(-2\sqrt{a^{2}-4}+aln\frac{x_{1}}{x_{2}})$

=? $-2+aln\frac{x_{1}}{x_{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-4}}$

=? $-2+\frac{alnx_{1}^{2}}{\sqrt{a^{2}-4}}$

即證明? $\frac{{2lnx_{1}}}{\sqrt{a^{2}-4}}<1$

那這時候只剩下兩個未知數了，如果我們再能把表示成? $x_{1}$ ?,那這個題就OK了

你會發(fā)現(xiàn)我們剛才在計算的過程中有：? $\sqrt{a^{2}-4}=x_{1}-x_{2}=x_{1}-\frac{1}{x_{1}}$

則 $\frac{{2lnx_{1}}}{\sqrt{a^{2}-4}}<1$ 可進一步化簡為? $2lnx_{1}-x_{1}+\frac{1}{x_{1}}<0$

接下來就是構造函數求單調性證明小于0即可

值得注意的是這時候? $x_{1}$ ?的取值范圍不知是單單大于0

由于第一問二次函數對稱軸和零點性質，我們知道? $0<x_{1}<1<x_{2}$

而導數題中我們常用到的特殊化，使函數值為0，你會發(fā)現(xiàn)x=1時，f(x)=0

而正好? $x_{1}<1$ ?，則這個題就OK了

就是細心的化簡加上連貫的邏輯思維，這個題寫起來游刃有余

（一步步盯住目標，細心計算，便能準確無誤拿下這12分）

歡迎關注我們的連載，學習數學三招的思維

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